Mønsted nasceu em Balle Mølle, perto de Grenå, Dinamarca. Ele era filho de Otto Christian Mønsted e Thora Johanne Petrea Jorgensen. Seu pai era um próspero construtor de navios. Ainda jovem, ele começou a receber aulas de pintura na escola de arte em Aarhus. De 1875 a 1879, estudou na Royal Academy of Fine Arts com Niels Simonsen e Julius Exner. Em 1878, Mønsted estudou com o artista Peder Severin Krøyer. Em 1882, ele passou algum tempo em Roma e Capri, então, no ano seguinte, visitou Paris, onde trabalhou nos estúdios de William Adolphe Bouguereau. Ele gradualmente desenvolveu um estilo pessoal de naturalismo acadêmico.

Mønsted era um viajante habitual. Em 1889, ele foi para a Argélia. Três anos depois, ele viajou para a Grécia, onde foi hóspede do rei George I, que havia nascido um príncipe dinamarquês. Enquanto estava lá, ele também fez retratos da família real grega. Depois disso, ele visitou o Egito e a Espanha. Durante seus últimos anos, ele passou muito tempo na Suíça e viajando pelo Mediterrâneo. Suas viagens produziram vários esboços que se tornaram pinturas que ele apresentou em várias exposições internacionais. Ele era especialmente popular na Alemanha, onde realizou várias exposições no Glaspalast em Munique.

Mønsted morreu em 20 de junho de 1941 e está enterrado no Cemitério Garnison, em Copenhague. A maioria de suas obras está em coleções particulares. Em 1995, uma grande retrospectiva, chamada "Luz do Norte", foi realizada em Frankfurt am Main.