モンステッドはデンマークのグレノー近郊のバレ・モーレで生まれた。父はオットー・クリスチャン・モンステッド、母はトーラ・ヨハンネ・ペトレア・ヨルゲンセン。父は裕福な造船業者。幼少のころからオーフスの美術学校で絵画のレッスンを受け始めた。1875年から1879年まで、王立美術アカデミーでニールス・シモンセ​​ン、ユリウス・エクスナーに師事。1878年、モンステッドは画家ペーダー・セヴェリン・クロイヤーに師事。1882年、ローマとカプリ島でしばらく過ごし、翌年パリを訪れ、ウィリアム・アドルフ・ブグローのスタジオで働いた。次第にアカデミックな自然主義の独自のスタイルを確立していった。

モンステッドは旅行好きで、1889年にはアルジェリアを訪れた。 3年後、彼はギリシャに旅行し、デンマークの王子として生まれたジョージ1世の客人となった。滞在中、彼はギリシャ王室の肖像画も描いた。その後、エジプトとスペインを訪れた。晩年はスイスで多くの時間を過ごし、地中海を旅した。旅で描いた数多くのスケッチは絵画となり、いくつかの国際展に出品された。特にドイツでは人気があり、ミュンヘンのグラスパラストで数回展覧会を行った。

モンステッドは1941年6月20日に亡くなり、コペンハーゲンのガルニソン墓地に埋葬されている。彼の作品のほとんどは個人コレクションに収められている。1995年には、フランクフルト・アム・マインで「北の光」と題された大規模な回顧展が開催された。