Mønsted nacque a Balle Mølle vicino a Grenå, Danimarca. Era figlio di Otto Christian Mønsted e Thora Johanne Petrea Jorgensen. Suo padre era un prospero costruttore navale. In giovane età, iniziò a ricevere lezioni di pittura alla scuola d'arte di Aarhus. Dal 1875 al 1879, studiò alla Royal Academy of Fine Arts con Niels Simonsen e Julius Exner. Nel 1878, Mønsted studiò sotto l'artista Peder Severin Krøyer. Nel 1882, trascorse un po' di tempo a Roma e Capri, poi, l'anno seguente, visitò Parigi, dove lavorò negli studi di William Adolphe Bouguereau. Sviluppò gradualmente uno stile personale di naturalismo accademico.

Mønsted era un viaggiatore abituale. Nel 1889, andò in Algeria. Tre anni dopo, viaggiò in Grecia, dove fu ospite di re Giorgio I, che era nato principe danese. Mentre era lì, realizzò anche ritratti della famiglia reale greca. Dopo di che, visitò l'Egitto e la Spagna. Negli ultimi anni, trascorse molto tempo in Svizzera e viaggiò attraverso il Mediterraneo. I suoi viaggi produssero numerosi schizzi che divennero dipinti che presentò in diverse mostre internazionali. Era particolarmente popolare in Germania, dove tenne diverse mostre al Glaspalast di Monaco.

Mønsted morì il 20 giugno 1941 ed è sepolto nel cimitero di Garnison, a Copenaghen.

La maggior parte delle sue opere si trova in collezioni private. Nel 1995, una grande retrospettiva, chiamata "Luce del Nord", si tenne a Francoforte sul Meno.