Mønsted est né à Balle Mølle près de Grenå, au Danemark. Il était le fils d'Otto Christian Mønsted et de Thora Johanne Petrea Jorgensen. Son père était un constructeur naval prospère. Très jeune, il commença à recevoir des cours de peinture à l'école d'art d'Aarhus. De 1875 à 1879, il étudia à l'Académie royale des beaux-arts avec Niels Simonsen et Julius Exner. En 1878, Mønsted étudia auprès de l'artiste Peder Severin Krøyer. En 1882, il séjourna quelque temps à Rome et à Capri, puis, l'année suivante, il visita Paris, où il travailla dans les ateliers de William Adolphe Bouguereau. Il développa progressivement un style personnel de naturalisme académique.

Mønsted était un voyageur invétéré. En 1889, il se rendit en Algérie. Trois ans plus tard, il se rendit en Grèce, où il fut l'invité du roi Georges Ier, qui était né prince danois. Il réalise également des portraits de la famille royale grecque. Il visite ensuite l'Égypte et l'Espagne. Au cours de ses dernières années, il passe beaucoup de temps en Suisse et voyage dans toute la Méditerranée. De ses voyages naissent de nombreux croquis qui deviennent des peintures qu'il présente lors de plusieurs expositions internationales. Il est particulièrement populaire en Allemagne, où il expose plusieurs fois au Glaspalast de Munich.

Mønsted décède le 20 juin 1941 et est enterré au cimetière de Garnison, à Copenhague.

La plupart de ses œuvres se trouvent dans des collections privées. En 1995, une grande rétrospective intitulée « Lumière du Nord » a été organisée à Francfort-sur-le-Main.