Mønsted nació en Balle Mølle, cerca de Grenå, Dinamarca. Era hijo de Otto Christian Mønsted y Thora Johanne Petrea Jorgensen. Su padre era un próspero constructor de barcos. A temprana edad, comenzó a recibir lecciones de pintura en la escuela de arte de Aarhus. De 1875 a 1879, estudió en la Real Academia de Bellas Artes con Niels Simonsen y Julius Exner. En 1878, Mønsted estudió con el artista Peder Severin Krøyer. En 1882, pasó un tiempo en Roma y Capri y, al año siguiente, visitó París, donde trabajó en los estudios de William Adolphe Bouguereau. Poco a poco desarrolló un estilo personal de naturalismo académico.

Mønsted era un viajero habitual. En 1889, fue a Argelia. Tres años más tarde, viajó a Grecia, donde fue invitado del rey Jorge I, que había nacido como príncipe danés. Allí también retrató a la familia real griega. Después visitó Egipto y España. Durante sus últimos años, pasó mucho tiempo en Suiza y viajó por el Mediterráneo. Sus viajes produjeron numerosos bocetos que se convirtieron en pinturas que presentó en varias exposiciones internacionales. Fue especialmente popular en Alemania, donde realizó varias exposiciones en el Glaspalast de Múnich.

Mønsted murió el 20 de junio de 1941 y está enterrado en el cementerio Garnison de Copenhague. La mayoría de sus obras se encuentran en colecciones privadas. En 1995, se realizó una gran retrospectiva, llamada "Luz del Norte", en Frankfurt am Main.