Mønsted wurde in Balle Mølle bei Grenå in Dänemark geboren. Er war der Sohn von Otto Christian Mønsted und Thora Johanne Petrea Jorgensen. Sein Vater war ein wohlhabender Schiffsbauer. Schon in jungen Jahren erhielt er Malunterricht an der Kunstschule in Aarhus. Von 1875 bis 1879 studierte er an der Königlichen Akademie der Schönen Künste bei Niels Simonsen und Julius Exner. 1878 studierte Mønsted bei dem Künstler Peder Severin Krøyer. 1882 verbrachte er einige Zeit in Rom und Capri und besuchte im folgenden Jahr Paris, wo er in den Ateliers von William Adolphe Bouguereau arbeitete. Er entwickelte allmählich einen persönlichen Stil des akademischen Naturalismus.

Mønsted war ein Gewohnheitsreisender. 1889 ging er nach Algerien. Drei Jahre später reiste er nach Griechenland, wo er Gast von König Georg I. war, der als dänischer Prinz geboren worden war. Während seines Aufenthalts fertigte er auch Porträts der griechischen Königsfamilie an. Danach besuchte er Ägypten und Spanien. In seinen späteren Jahren verbrachte er viel Zeit in der Schweiz und bereiste das Mittelmeer. Auf seinen Reisen entstanden zahlreiche Skizzen, die zu Gemälden wurden, die er auf mehreren internationalen Ausstellungen präsentierte. Besonders beliebt war er in Deutschland, wo er mehrere Ausstellungen im Glaspalast in München veranstaltete.

Mønsted starb am 20. Juni 1941 und ist auf dem Garnisonsfriedhof in Kopenhagen begraben.

Die meisten seiner Werke befinden sich in Privatsammlungen. 1995 fand in Frankfurt am Main eine große Retrospektive mit dem Titel „Licht des Nordens“ statt.